최대공약수, 최소공배수

최대공약수

(1) 공약수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수

    ex) 8의 약수 : 1, 2, 4, 8

        12의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12      -> 8과 12의 공약수 : 1, 2, 4

(2) 최대공약수 : 공약수 중에서 가장 큰 수

    ex) 8과 12의 최대공약수는 공약수 중에서 가장 큰 수인 4 이다.

(3) 최대공약수의 성질 : 두 개 이상의 자연수의 공약수는 모두 그 수들의 최대공약수의 약수이다.

    ex) 8과 12의 공약수인 1, 2, 4는 8과 12의 최대공약수인 4의 약수이다.

        쉽게말해 8과 12의 공약수 1, 2, 4는 4의 약수이다.

        ① x, y의 최대공약수가 4이면 공약수는 = 1, 2, 4 이다.

(4) 서로소 : 최대공약수가 1인 두 자연수

    ex) 2의 약수 : 1, 2

        3의 약수 : 1, 3     -> 2와 3의 최대공약수는 1이므로 2와 3은 서로소이다.

        6의 약수 : 1, 2, 3, 6

        10의 약수 : 1, 2, 5, 10     -> 최대공약수는 2이므로 6와 3은 서로소가 아니다.

    [참고] 소수인거 끼리 같이 있으면 서로소 아닌가요??

          - 10, 21 이랑 5, 18 이랑 1, 100은 서로소이다.

            두개의 숫자가 서로 나누어지는 수는 1밖에 없다.

(5) 최대공약수 나눗셈을 이용하여 구하기

① 각 수를 1이 아닌 공약수로 나눈다.

② 몫에 1 이외의 공약수가 없을 때까지 나눈다.

③ 나누어 준 공약수를 모두 곱한다.

※ 나눗셈을 이용할 때에는 몫이 서로소가 될 때까지 나눈다.

(최대공약수) = 2 x 3 = 6

(6) 최대공약수 소인수분해를 이용하여 구하기

① 각 수를 소인수분해한다.

② 밑이 같은 거듭제곱 중에서 지수가 같거나 작은 것을 찾는다.

③ ②에서 구한 거듭제곱을 모두 곱한다.

※ 세 수 이상의 최대공약수를 구할 때에도 두 수의 최대공약수를 구할 때와 같은 방법으로 구한다.

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최소공배수

(1) 공배수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수

    ex) 2의 배수 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...

        3의 배수 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...    -> 2와 3의 공배수 : 6, 12, 18, ....

(2) 최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수

    ex) 2와 3의 최소공배수는 공배수 중에서 가장 작은 수인 6 이다.

(3) 최소공배수의 성질 : 두 개 이상의 자연수의 공배수는 모두 그 수들의 최소공배수의 배수이다.

    ex) 2와 3의 공배수인 6, 12, 18, ... 은 2와 3의 최소공배수인 6의 배수이다.

(4) 최소공배수 나눗셈을 이용하여 구하기

① 각 수를 1이 아닌 공약수로 나눈다.

② 몫에 1 이외의 공약수가 없을 때까지 계속 나눈다.

③ 나누어 준 공약수와 마지막 몫을 모두 곱한다.

(최대공배수) = 2 x 3 x 2 x 5 = 60

※ 나눗셈을 이용하여 세 수 이상의 최소공배수를 구할 때에는 어떤 두 수를 택해도 공약수가 1일 때까지 나눈다.

(5) 최소공배수 소인수분해를 이용하여 구하기

① 각 수를 소인수분해한다.

② 밑이 같은 거듭제곱 중에서 지수가 같거나 큰 것을 찾고 밑이 다른 거듭제곱을 찾는다.

③ ②에서 구한 거듭제곱을 모두 곱한다.

※ 세 수 이상의 최소공배수를 구할 때에도 두 수의 최소공배수를 구할 때와 같은 방법으로 구한다.