다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈

(1) 두 다항식 A, B에 대하여 두 다항식의 합 A + B는 A, B의 동류항끼리 모아서 계산한다.

    또, 두 다항식의 차 A - B는 다항식 A에 다항식 B의 각 항의 부호를 바꾼 다항식 -B를 더하여 계산한다. 즉,

    A - B = A + (- B) 와 같이 계산한다.

예제.

A + B = 

A - B =

※ 참고 ※

일반적으로 다항식을 정리하여 나타낼 때는 내림차순 또는 오름차순으로 정리한다.

① 내림차순 : 어느 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 방법

② 오름차순 : 어느 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 방법

(2) 다항식의 덧셈에 대한 성질

세 다항식 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.

① 교환법칙 : A + B = B + A

② 결합법칙 : (A + B) + C = A + (B + C)

2. 다항식의 곱셈

(1) 두 다항식 A, B에 대하여 두 다항식의 곱 AB는 분배법칙을 이용하여 전개한 다음 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

※ 참고 ※

두 자연수 m, n에 대하여

① 

② 

③ 

예제.

AB = 

(2) 다항식의 곱셈에 대한 성질

세 다항식 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.

① 교환법칙 : AB = BA

② 결합법칙 : (AB)C = A(BC)

③ 분배법칙 : A(B+C) = AB+AC,   (A+B)C = AC + BC

3. 곱셈 공식과 곱셈 공식의 변형

(1) 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개할 수 있으나, 특별한 형태의 다항식의 곱셈은 곱셈 공식을 이용하여 간단하게 전개할 수 있다.

(2) 곱셈 공식

① 

식을 풀어서 설명해보자.

위의 식에서 a, b를 묶어서 A라고 설명하겠다.

 그럼 다시 고친것을 원래대로 돌려주면

② 

이것도 식을 풀어서 설명해보자.

결론은

 이렇게 알아둬도 된다.

예제.

③ 

예제.

 먼저 계산을 하기 전에 위의 식을 공식을 이용할 수 있는지 확인을 해야된다.

이렇게 나온다.

(3) 곱셈 공식의 변형

① 

왼쪽에 있는 것을 로 변형 할 수 있다. 근데 왼쪽과 가운데에 있는 것은 전혀 다른 식이다.

그렇기에 안에 들어 있는 이것을 빼주면 된다.

그럼 같은 식이 된다.

이것이 곱셈 공식이다.

② ,  

3번부터는 외워도 되고 외우지 않아도 된다. (다만, 외우면 문제를 더 빠르게 풀 수 있다.)

③ 

④

직접 전개해보면 위와 같이 나온다.

⑤ 

위의 식에서 잘 생각해보면 2/1로 나와있다.

그럼 은 몇개가 나올까? 바로 2개가 나온다. b와 c로 그러하다.

그러므로 이다.

4. 다항식의 나눗셈

(1) 다항식을 다항식으로 나눌 때에는 각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음, 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다.

(2) 다항식 A를 다항식 B(B0)로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면 A=BQ+R가 성립한다.

이때 R의 차수는 B의 차수보다 낮다.

특히 R = 0이면 A는 B로 나누어 떨어진다고 한다.

예제.

다항식 을 로 나누면

① 

②

따라서 몫은 이고, 나머지는 1이다.