유리수의 소수 표현, 순환소수의 분수 표현

1. 유리수와 소수

(1) 유리수 : 분수 (a, b는 정수, ) 꼴로 나타낼 수 있는 수

(2) 소수의 분류

   ① 유한소수 : 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수

          ex) 0.2, 0.15, 4.736

   ② 무한소수 : 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수

          ex) 0.333... , 0.141414... , 6.252525...

※ 참고 : 정수가 아닌 유리수는 나눗셈을 통해 유한소수 또는 무한소수로 나타낼 수 있다.

ex) -> 유한 소수,  -> 무한 소수

2. 순환소수

(1) 순환소수 : 무한소수 중에서 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이 되는 소수

   ex) 0.222..., 0.353535..., 0.6123123123...

(2) 순환마디 : 순환소수의 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 한없이 되풀이되는 가장 짧은 한 부분

   ex) .353535... 의 순환마디는 35

(3) 순환소수의 표현 : 첫 번째 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다.

순환소수	순환마디	순환소수의 표현
0.222...	2
0.353535...	35
0.6123123123...	123

※ 주의 0.222... = (X), 0.353535... =(X), 0.6123123123... = (X)

무한소수 중에는 0.10100100010000..., 원주율 3.141592...와 같이 순환하지 않는 무한소수도 있다.

3. 유한소수로 나타낼 수 있는 분수

(1) 분수의 분모와 분자에 적당한 수를 각각 곱하여 분모를 10의 거듭제곱의 꼴로 고칠 수 있으면 분수를 유한소수로 나타낼 수 있다.

   ex) 

(2) 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5뿐인 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.

   ex)  -> 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.

        -> 

※ 주의 : 과 같이 분모가 2 또는 5 이외의 소인수를 가져도 유한소수로 나타낼 수 있는 경우가 있다. 따라서 기약분수로 나타낸 후 분모가 소인수를 살펴봐야 한다.

4. 순환소수로 나타낼 수 있는 분수

정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모가 2 또는 5 이외의 소인수를 가지는 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.

   ex)  -> 분모가 2 또는 5 이외의 소인수 3을 가지므로 순환소수로 나타낼 수 있다.

          -> 

5. 순환소수를 분수로 나타내기 (1)

모든 순환소수를 다음과 같은 방법으로 분수로 나타낼 수 있다.

① 순환소수를 x로 놓는다.

② 등식의 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 소수점 아래의 부분이 같은 두 식을 만든다.

③ 두 식을 빼서 x의 값을 구한다.

ex) 로 놓으면  따라서 

※ 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 모든 순환 소수는 유리수이다.

6. 순환소수를 분수로 나타내기 (2)

순환소수를 다음과 같은 방법으로 쉽게 분수로 나타낼 수 있다.

① 분모는 순환마디의 숫자의 개수만큼 9를 쓰고, 그 뒤에 소수점 아래에서 순환마디에 포함되지 앟는 숫자의 개수만큼 0을 쓴다.

② 분자는 (전체의 수) - (순환하지 않는 부분의 수)를 쓴다.

ex) 

ex) 

7. 순환소수를 포함한 식의 계산

순환소수를 포함한 식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 순환소수를 분수로 나타낸 후 계산한다.

ex) 

8. 유리수와 순환소수의 관계

(1) 정수가 아닌 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다.

(2) 유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다.