방정식과 그 해, 등식의 성질, 일차방정식의 풀이
- 수학
- 2018. 10. 31.
방정식과 그 해, 등식의 성질, 일차방정식의 풀이
1. 등식
(1) 등식 : 등호(=)를 사용하여 수 또는 식이 같음을 나타낸 식
(2) 좌변 : 등호의 왼쪽 부분
(3) 우변 : 등호의 오른쪽 부분
(4) 양변 : 좌변과 우변
예) 3+4=7, 4x+2=3은 등호를 사용하여 두 수 또는 식이 같음을 나타냈으므로 등식이다.
※ 참고 : 등호를 사용하지 않거나 부등호를 사용한 식은 등식이 아니다.
예) 3+6>5 (등식이 아니다.), 4x+2(등식이 아니다.)
x-2 = 2x+4
좌변 = 우변
└양변┘
2. 방정식
(1) 방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식
① 미지수 : 방정식에 사용된 x 등의 문자
② 방정식의 해 또는 근 : 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값
③ 방정식을 푼다 : 방정식의 해(근)를 구하는 것
(2) 항등식 : 미지수에 어떤 값을 대입하여도 항상 참이 되는 등식
예) 2x + 1 = x + x + 1은 모든 x의 값에 대하여 참이므로 항등식이다.
※ 참고 : 좌변과 우변을 각각 정리하여 (좌변) = (우변)이면 항등식이다.
즉, ax + b = cx + d가 x에 대한 항등식 -> a = c, b = d
3. 등식의 성질
(1) 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
예) a=b 이면 a+c = b+c
(2) 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
예) a=b 이면 a-c = b-c
(3) 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
예) a=b 이면 a x c = b x c
(4) 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
예) a=b 이면
※ 참고 a=b이면 ac = bc이지만 ac=bc이면 항상 a=b는 아니다
예) 1x0 = 2x0이지만 1,2는 같이 않다.
4. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이
등식의 성질을 이용하여 주어진 방정식을 x=(수)의 꼴로 고쳐서 해를 구할 수 있다.
예)
①
②
※참고 : 방정식을 변형하여 좌변에 계수가 1인 x항만 남기면 방정식의 해를 구할 수 있다.
즉, x=(수)의 꼴로 고치면 그'(수)'가 방정식의 해이다.
5. 일차방정식
(1) 이항 : 등식의 성질을 이용하여 등식의 어느 한 변에 있는 항을 부호만 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것
(2) x에 대한 일차방정식 : 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이 (x에 대한 일차식)=0, 즉 ax+b=0 (a,b는 상수, a=0 아님) 의 꼴로 나타내어지는 방정식
예) 2x - 5 = 0, -x+3=0
6. 일차방정식의 풀이
(1) 괄호가 있으면 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
(2) 미지수 x를 포함하는 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다.
(3) 양변을 정리하여 ax = b의 꼴로 만든다.
(4) 양변을 x의 계수 a로 나누어 해를 구한다.
※ 참고 : 구한 값이 해가 되는지 확인해 보려면 구한 값을 방정식에 대입하여 등식이 참이 되는지 확인한다.
7. 복잡한 일차방정식의 풀이
(1) 계수가 소수인 경우 : 양변에 10, 100, 100, ... 중에서 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 고친 후 푼다.
예)
(2) 계수가 분수인 경우 : 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푼다.
예)
8. 일차방정식의 활용
일차방정식을 활용하여 문제를 풀 때는 다음과 같은 순서로 해결한다.
(1) 문제의 뜻을 파악하고, 구하려고 하는 것을 x로 놓는다.
(2) 문제의 뜻에 맞게 일차방정식을 세운다.
(3) 일차방정식을 푼다.
(4) 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.
※ 참고 :
＊연속하는 두 정수 : x, x+1
＊연속하는 짝수 또는 홀수 : x, x+2
＊연속하는 세 정수 : x-1, x, x+1
＊십의 자리의 숫자 x, 일의 자리의 숫자 y : 10x+y
＊(거리) = (속력) x (시간)